Быстрые ссылки
реферат: Синергетическая теория управления. [Разное]
Министерство образования и науки украины
Донбасский госудасртвенны технический университет
реферат
по дисциплине АТТП и ВУ
на теме «синергетическая теория управления»
выполнил: ст. гр. эмс-08-1
Собиров Б.У.
проверил: преп. каф. АЭМС
Закутный А.С.
Алчевск 2012
содержание
введение …………………………………………………………….. 3
ПРЕДИСЛОВИЕ ……………………………………………………….. 3
1 Что такое синергетика………………………………………….. 5
2 СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ……… 31
2.1 СИНЕРГЕТИКА И ПРОБЛЕМА УПРАВЛЕНИЯ…………………... 31
3 Неравновесность и порядок в системах ………………. 38
4 Основные понятия синергетики ………………………….. 39
5 Синергетика и процессы управления …………………… 42
6 Концептуальные положения синергетической
теории управления……………………………………………… 47
перечен ссылок ………………………………………………. ….. 51
введение
В современных физических и технических науках стали рассматриваться столь сложные системы, что они по своим свойствам и поведению напоминают природные системы. Отсюда возникает насущная потребность выявления и использования механизмов, действующих в природных системах и определяющих основы их функционирования, прогноза развития ноосферы с гармоничным вхождением искусственных систем в естественную картину мира. Такое объединяющее направление современной науки о развитии сложных процессов разнообразной физической, химической и биологической природы изучается синергетикой—наукой о самоорганизации в нелинейных диссипативных системах.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Между идеями синергетики и развиваемой в этой книге нелинейной теорией управления, основанной на идее введения желаемых инвариантных многообразий в процедуру синтеза систем, существует глубокая концептуальная связь. Поэтому кратко остановимся на основных положениях синергетики, важных с точки зрения проблем управления. В настоящее время формируется новая интегральная наука—синергетика, изучающая коллективные вопросы самоорганизации и охватывающая практически все современные отрасли знаний о косной и живой природе, технические и экономические науки. Эта обобщенная наука основана на нелинейной динамике и термодинамике необратимых процессов. Буквально на глазах, в течение короткого времени синергетика—теория неравновесных процессов превращается во всеобщую теорию развития, имеющую весьма широкие мировоззренческие последствия. Смысл и содержание этой новой интегральной науки состоит в том, что в открытых системах, обменивающихся с внешней средой энергией, веществом и информацией, возникают процессы самоорганизации, т.е. процессы рождения из физического (биологического, экономического, социального) хаоса некоторых устойчивых упорядоченных структур с новыми свойствами систем. Это общее определение справедливо для систем любой природы. Подчеркнем два фундаментальных свойства высокоэффективных синергетических систем любой природы—это, во-первых, обязательный обмен с внешней средой энергией, веществом и информацией и, во-вторых, непременное взаимосодействие, т.е. когерентность поведения между компонентами системы. Об этих кардинальных свойствах синергетических систем всегда следует помнить как руководителю коллектива, так и специалисту в конкретной научной или технической области. К синергетике как к науке, изучающей поведение нелинейных систем вдали от положения равновесия при изменении некоторых управляющих параметров, наиболее близка по своей идеологии прикладная теория управления. В этой связи представляется весьма перспективным для развития современной теории управления осуществить попытку переноса описанных выше свойств синергетических систем на конструируемые системы управления нелинейными техническими объектами. Необходимо отметить, что именно синтез такого рода систем является фундаментальной проблемой современной науки об автоматическом управлении, которая отличается от синергетики тем, что не отыскивает возможные диссипативные структуры, а формирует, "навязывает" нужные нам структуры для решения различных задач управления соответствующими динамическими объектами. Разумеется, что при этом возникает непростая проблема перехода от естественных синергетических принципов к количественным соотношениям. Такой подход позволяет создать новую теорию синтеза систем управления нелинейными динамическими объектами, имеющую глубокое естественно научное обоснование как приложение принципов сохранения в проблемах управления.
В целом ряде работ отечественных и зарубежных ученых в последнее время было показано, что для естественных динамических систем свойственно наличие некоторых поверхностей притяжения инвариантных многообразий в их пространстве состояний. Такие установившиеся режимы получили название аттракторов, т.к. они “притягивают” соседние режимы.
1 Что такое синергетика?
Синергетика—это интегральная наука, которая исследует процессы самоорганизации и охватывает все отрасли знаний о косной и живой природе, технике и экономике. Именно синергетика позволяет нам теперь говорить о зарождении общего метаязыка естественника, инженера и гуманитария, т.е. перейти к целостному пониманию природы, техники и общества на основе единой синергетической концепции. Эта концепция дает возможность создать новое отношение к процессу интегрального познания и самой науки, убрав разъединяющие барьеры между отдельными отраслями науки и техники, уйти от узкого профессионализма. Разумеется, что переход на целостную, синергетическую концепцию требует проведения новых научных и прикладных исследований, отражающих кооперативные, синергетические явления в соответствующих предметных областях знаний.
Синергетика занимается изучением систем, состоящих из многих подсистем самой различной природы, таких, как электроны, атомы, молекулы, клетки, нейроны, механические элементы, фотоны, органы, животные и даже люди. В этой книге мы хотим рассмотреть, каким образом взаимодействие таких подсистем приводит к возникновению пространственных, временных или пространственно-временных структур в макроскопических масштабах. В частности, мы сосредоточим внимание на тех ситуациях, когда структуры возникают в результате самоорганизации, и попытаемся выяснить, какие принципы управляют процессами самоорганизации безотносительно к природе подсистем. В этой главе мы приведем типичные примеры переходов беспорядок — порядок или порядок — порядок в самых различных областях от физики до социологии и дадим краткий обзор основных понятий и математического подхода.
1.1 Физика
В принципе все фазовые переходы в физических системах, находящихся в термодинамическом равновесии, такие, как переход жидкость—газ, ферромагнитный переход или возникновение сверхпроводимости, подпадают под общее определение процессов, представляющих интерес для синергетики. С другой стороны, эти явления интенсивно изучаются теорией фазовых переходов, в последнее время — с помощью метода ренорм группы, которому посвящено большое число книг и обзорных статей. (При чтении каждого раздела советуем обращаться к списку использованной и рекомендуемой литературы, приведенному в конце книги.) Поэтому мы не будем рассматривать эти явления и сосредоточим внимание на тех современных достижениях синергетики, которые остаются за рамками теории фазовых переходов.
1.2 Жидкости: образование динамических структур
Прекрасные примеры образования структур все возрастающей сложности дает нам гидродинамика. Поскольку образование любой структуры означает, что предшествующее состояние жидкости.
не может существовать далее, т. е. становится неустойчивым, явления образования структур часто называют неустойчивостями.
Рассмотрим в качестве первого примера неустойчивость Тейлора и следующие за ней неустойчивости. В этих экспериментах (рис. 1) изучается движение жидкости между коаксиальными цилиндрами.
Рисунок - 1 Схема экспериментальной установки для изучения неустойчивости Тейлора. Жидкость заполняет пространство между двумя коаксиальными цилиндрами. Наружный цилиндр прозрачный. Внутренний цилиндр может вращаться с постоянной скоростью.
Обычно внутренний цилиндр заставляют вращаться, а наружный закрепляют неподвижно, но производились и такие эксперименты, в которых вращались оба цилиндра. Мы опишем явления, наблюдаемые в том случае, когда наружный цилиндр закреплен неподвижно, а внутренний вращается е различными скоростями. При малых скоростях вращения жидкость образует коаксиальные линии тока. Это вполне понятно, так как внутренний цилиндр пытается увлечь за собой жидкость за счет трения между поверхностью цилиндра и жидкостью. При возрастании скорости (обычно измеряемой в безразмерных числах Тейлора) возникает движение нового типа. Движение жидкости организуется в так называемые вихри Тейлора, в которых жидкость периодически движется то наружу, то внутрь в горизонтальных слоях (рис. 2, а, б).
Когда числа Тейлора, продолжая возрастать, достигают второго критического значения, вихри Тейлора начинают осциллировать с одной основной частотой, а при еще более высоких числах Тейлора с двумя основными частотами. Иногда наблюдаются еще более сложные структуры. Наконец, при дальнейшем увеличении числа Тейлора наступает хаотическое движение. Как видно из рис. 3, возникающие структуры можно наблюдать непосредственно. Кроме того, по рассеянию излучения лазера измерялись распределение скоростей и его спектр Фурье (рис. 4, а—в). В отдельных случаях при увеличении числа Тейлора наблюдалось появление серии новых частот, составляющих 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 от основной частоты. Поскольку половинная частота соответствует удвоенному периоду, это явление получило название удвоения периода. Некоторые особенности, присущие образованию вихрей Тейлора, характерны для самоорганизующихся систем. Когда мы изменяем внешний параметр (в случае вихрей Тейлора — скорость вращения), система может образовывать иерархию структур, не обусловленную внешними воздействиями. Кроме того, структуры могут усложняться во времени и в пространстве.
Другой стандартный тип экспериментов приводит к конвективной неустойчивости (или неустойчивости Бенара) и большому числу
Рисунок - 2 а — схема образования вихрей Тейлора; б — траектория частицы внутри вихрей Тейлора, рассчитанная на ЭВМ. В численном эксперименте образовались два вихря Тейлора, но графопостроитель изобразил траекторию частицы только внутри верхнего вихря.
Рисунок 3 - Иерархия неустойчивостей в неустойчивости Тейлора, а — образование вихрей Тейлора; б — появление волн на вихрях Тейлора; в — более сложное волновое движение на вихрях Тейлора; г — хаотическое движение на вихрях Тейлора.
Рисунок - 4 а) Слева: радиальная составляющая локальной скорости жидкости Vr (t), измеренная с помощью доплеровского сдвига рассеянного лазерного луча, как функция от времени. Измерение производилось при числе Рейнольдса Rc = 5,7, где R = ωцикri*(r0—ri)ν, ωцил — угловая частота внутреннего цилиндра, r0; и гi — радиусы внутреннего и наружного цилиндров, "V — кинематическая вязкость. Справа: спектр мощности, соответствующий кривой Vr(t), которая представлена слева. Основная частота ω1 одна, но высших гармоник много; б — спектр мощности радиальной составляющей скорости при R/Rc = 13,3. В спектре видны три основные частоты ωl ,ω2 и ω3, а также некоторые их линейные комбинации; в — на этих спектрах видно исчезновение частоты ш3 при R/Rc = 19,2 ±0,1. В обоих спектрах при ω ~ 0,45 существует компонента В.
неустойчивостей более высокого порядка. В этих экспериментах слой жидкости находится в сосуде определенной геометрии (обычно используются сосуды круглой или прямоугольной формы). На жидкость действует сила тяжести. Если жидкость подогревать снизу, а ее верхнюю поверхность поддерживать при постоянной температуре, то устанавливается некоторая разность температур. Эта разность температур (градиент температуры) порождает вертикальный поток тепла. Если градиент температуры мал, то перенос тепла происходит на микроскопическом уровне, и никакого макроскопического движения жидкости не наблюдается. Возрастая, градиент температуры достигает критического значения, и тогда внезапно устанавливается макроскопическое движение, образующее четко
Рисунок 5 - Экспериментальные спектры мощности в эксперименте Бенара при числах Рэлея 40,5 Rc; 42,7 Rc и 43 Rc.
выраженные структуры: на одних участках нагретая жидкость поднимается, охлаждается у верхней поверхности, на других — опускается, именно в результате чего и возникает движение в виде цилиндрических ячеек. Характерный размер ячеек сравним по порядку величины с толщиной слоя жидкости, которая в лабораторных системах может составлять от миллиметров до нескольких сантиметров. (То же явление наблюдается и в метеорологии, где хорошо известны «дорожки» в облаках, размеры которых достигают нескольких сот метров.)
В прямоугольной геометрии при увеличении градиента температуры, измеряемого в безразмерных единицах числом Рэлея, цилиндрические ячейки начинают осциллировать, при еще больших числах Рэлея наступают осцилляции с несколькими основными частотами, которые при дальнейшем возрастании числа Рэлея сменяются совершенно беспорядочным движением, называемым турбулентностью, или хаосом.
Переход от покоящегося слоя к турбулентности может происходить и по другим путям или сценариям; один из них осуществляется при удвоении периода. При возрастании числа Рэлея наступает весьма сложное движение, в котором период удваивается каждый
Рисунок 6- Снимки поверхности жидкости, подогреваемой снизу. Отчетливо видно, что гексагональные ячейки сосуществуют с цилиндрическими.
Рисунок 7- Снимок поверхности жидкости, подогреваемой снизу. Отчетливо видна прямоугольная решетка, образуемая двумя системами цилиндрических ячеек.
раз, когда число Рэлея достигает очередного критического значения (рис. 5, а—в). В цилиндрических контейнерах могут наблюдаться концентрические, или если нарушена симметрия относительно срединной горизонтальной плоскости, то шестиугольные ячейки. Кроме того, наблюдаются переходы между концентрическими и шестиугольными структурами и даже сосуществование цилиндров и шестиугольников (рис. 6). Экспериментально наблюдались также семейства цилиндрических ячеек, расположенных под прямым углом друг к другу и образующих прямоугольную решетку (рис. 7). При более высоких числах Рэлея возникает структура, внешне напоминающая ковер. Во многих случаях наблюдаемые структуры обладают различными дефектами (рис.8), Для получения наиболее четко выраженных структур
Рисунок 8-Снимок поверхности жидкости, подогреваемой снизу в круглом сосуде. Системы цилиндрических ячеек развиты неполностью. В точках пересечения системы правильный характер чередования ячеек нарушается.
в современных экспериментах выбирают прямоугольные кюветы с малым аспектным отношением (т. е. отношением длины к ширине), обычно порядка единицы. При больших удлинениях отдельные переходы следуют один за другим очень быстро или даже сосуществуют. Другой класс экспериментов, в которых жидкость нагревается сверху, приводит к «неустойчивости Маренго». Кроме того, в атмосферах Земли и других планет множество различных структур образуется в результате совместного действия силы тяжести, вращения и нагревания.
Еще один класс структур, имеющих важное практическое значение, возникает при обтекании жидкостью или газом движущихся объектов: автомашин, самолетов и морских судов. И в этом случае специфические структуры также приводят к возникновению различных эффектов.
1.3 Стохастичность
К числу отличительных свойств синергетических систем относится и стохастичность. Временная эволюция синергетических систем зависит от причин, не предсказуемых с абсолютной точностью. Эти причины можно учесть, если ввести «флуктуирующие» силы f (t), которые в простейшем случае преобразуют уравнение (1) к виду
q = aq+f(t). (1)
Иногда введение флуктуирующих сил порождает глубокие философские проблемы, которые мы кратко обсудим, хотя в дальнейшем займем более прагматическую позицию: будем считать, что в каждой рассматриваемой нами системе флуктуирующие силы заданы. До появления квантовой механики в мышлении не только физиков, но и представителей других наук доминировали чисто механистические представления. Считалось, что коль скоро начальное состояние системы задано, ее дальнейшая эволюция во времени точно предсказуема. Суть детерминизма наиболее полно выразил Лаплас в известном отрывке из «Аналитической теории вероятностей»: «Разумное существо, которое в каждый данный момент знало бы все движущие силы природы и имело бы полную картину состояния, в котором природа находится, могло бы (если бы только его ум был в состоянии проанализировать эти данные) выразить одним уравнением как движение самых больших тел мира, так и движение мельчайших атомов. Ничто не осталось бы для него неизвестным, и оно могло бы обозреть одним взглядом как будущее, так и прошлое». Иначе говоря, если бы такое существо знало начальные состояния всех индивидуальных частей системы (в частности, положения и скорости всех образующих систему частиц) и взаимодействия между ними, то оно могло бы предсказать состояние системы в любой момент в будущем. Со времен Лапласа появились три новые важные идеи.
а) Статистическая механика. Хотя в принципе положения и скорости частиц газа вполне предсказуемы, вычисление их либо нежелательно, либо практически неосуществимо. Для любых целей достаточно описывать газ статистически, т. е. делать вероятностные предсказания того или иного состояния газа, например предсказать, какова вероятность найти п частиц со скоростью v't заключенной в интервале от v до v + dv. Приняв такую вероятностную точку зрения, мы тем самым включим в описание флуктуации. Наиболее известный пример — броуновское движение, в котором f (t) в (1) воздействие всех частиц жидкости на более крупную частицу. Такие флуктуации встречаются всякий раз, когда мы переходим от микроскопического описания к описанию, использующему более или менее макроскопические переменные, например когда мы описываем жидкость не положениями отдельных молекул, а локальной плотностью и скоростью молекул.
б) Квантовые флуктуации. С возникновением в 20-х годах квантовой теории стало ясно, что предсказывать с абсолютной точностью
положения и скорости частиц невозможно даже в принципе.
Это со всей отчетливостью показал принцип неопределенности Гейзенберга, который гласит: скорость и положение частицы невозможно
одновременно измерить с абсолютной точностью. Тем самым было
в корне подорвано основное допущение относительно «разумного
существа» Лапласа. Наиболее точную форму соотношение неопределенности Гейзенберга обрело в предложенной Борном вероятностной интерпретации волновой функции в квантовой механике.
Поскольку квантовая теория лежит в основе всех явлений материального мира, неопределенности, обусловленные квантовыми флуктуациями, неизбежны.
Это имеет особенно важное значение в тех случаях, когда микроскопические явления усиливаются на-столько, что обретают макроскопические размеры. (Например, в биологии квантовые флуктуации могут вызывать мутации.)
в) Хаос. Существует и третья, появившаяся сравнительно не-
давно, идея, показывающая, что и без квантовых флуктуаций по-
ведение системы в будущем не предсказуемо. Хотя уравнения, описывающие эволюцию системы во времени, вполне детерминистичны,
система может эволюционировать по совершенно различным маршрутам. Связано это с тем, что эволюция некоторых систем весьма чувствительна к начальным условиям, в чем нетрудно убедиться на простом примере из механики. Когда стальной шарик падает на острие вертикально стоящего лезвия бритвы, дальнейшая траектория шарика весьма сильно зависит от его положения относительно острия перед тем, как он ударится о лезвие. Вся индустри игральных автоматов зависит от подобных явлений.
Если влияние флуктуаций на систему учитывается флуктуирующей силой такого типа, как в (1), то мы говорим об аддитивном шуме. Случайно флуктуирующая окружающая среда может порождать также шумы других типов. Например, скорость роста в (1.11.1) может флуктуировать. В этом случае мы получаем уравнение
q=a(t)q (2)
1.4 Как выглядят решения?
Решения q (t) или q (х, t), по крайней мере в принципе, можно представить в виде графиков. Рассмотрим сначала переменные q,, т. е. qx, q2, . . . , qn, не зависящие от х, но зависящие от t. Временную эволюцию qj (t) можно представить с помощью графиков (рис. 10). Во многих случаях желательно окинуть одним взглядом все переменные сразу. Для этого можно, например, рассматривать q±, q2, . . . , qn как координаты точки в п-мерном пространстве и каждому значению tx, t2, . . . сопоставлять соответствующую точку {q1 (t), q2 (t), . . . , qn (t)) (рис. 11). Прослеживая непрерывную последовательность точек от t→-∞; t→+∞; мы получаем траекторию (рис. 9).
Рисунок 9- Временная эволюция переменных q1 и q2. Значения переменных q1 и q2 в начальный момент времени t заданы. Их зависимость от времени при t>t0 показана сплошными кривыми. При других начальных данных зависимость q1 и q2 от времени описывается другими кривыми (например, штриховыми). Если в системе много переменных, то аналогичные кривые необходимо построить для каждой из них.
Выбрав другую начальную точку, мы окажемся, вообще говоря, на другой траектории (рис. 10 — 11). Вычерчивая соседние траектории, мы получим целый пучок траекторий (12). Так как эти траектории напоминают линии тока в жидкости, их иногда называют «линиями тока», а их совокупность — «потоком».
Хорошо известно (см., например, [1 ]), что траектории отнюдь не всегда идут (в одном направлении) от q = — ∞ до g — + ∞, а могут по-разному заканчиваться при конечных q. Например, различны. В случае n переменных
Рисунок 10 -Вместо того чтобы строить зависимости переменных от времени, как на рис. 10, можно строить траектории на плоскости q±q2, сопоставляя каждому значению tj точку с координатами q1 (tj), q2 (tj). Если система в начальный момент времени t0 находится в различных точках, то ее траектории также
Рисунок 11- В общем случае, когда желательно проследить за всей траекторией, приходится рассматривать и t→-∞; t→+∞;
траектории приходится строить
в n-мерном пространстве.
в двумерном случае траектории могут заканчиваться в узле (рис. 12) или в фокусе (рис. 13). Поскольку линии тока как бы притягиваются своими конечными точками, сами конечные
Рисунок 12- Пример семейства траекторий.
Рисунок 13- Траектории, заканчивающиеся в (устойчивом) узле. Если обратить время, то траектории будут выходить из узла, который станет неустойчивым.
Рисунок 14- Траектории, заканчивающиеся в (устойчивом) фокусе. Если обратить время, то траектории будут выходить из фокуса, который точки называются
Рисунок 15-Временная зависимость переменной q1 (t) в случае узла. Движение монотонно затухающее точки аттрактора
аттракторами.
В случае узла временное поведение q описывается графиком такого типа, как на рис. 14, в случае фокуса — графиком такого типа, как на рис. 15 На плоскости траектории помимо узлов, фокусов и седел могут заканчиваться, только навиваясь на предельный цикл (рис. 14). В случае, показанном на рис. 14, предельный цикл устойчивый, так как притягивает к себе соседние траектории. Он также принадлежит к числу «аттракторов». Временная эволюция q1 при движении по предельному циклу представлена на рис. 1.12.10.
Рисунок 14 - Временная зависимость переменной q1 (t) в случае фокуса. Движение колебательное и затухающее.
Рисунок 15- Устойчивый предельный цикл на плоскости. Траектории приближаются к предельному циклу снаружи и изнутри.
Это — незатухающие колебания. При числе размерностей больше двух могут возникнуть аттракторы других типов. К важному классу относятся аттракторы, лежащие на многообразиях или образующие
Рисунок 15- Временная зависимость переменной, например q2 (t), в случае предельного цикла.
многообразия. Поясним понятие многообразия несколько подробнее. Простым примером многообразия может служить предельный цикл, по которому происходит движение на рис. 14 Каждая точка многообразия может быть отображена в некоторую точку отрезка, и наоборот (рис. 16). Все многообразие может быть разбито на сегменты, допускающие отображение на перекрывающиеся интервалы на прямой, и наоборот (рис. 17). Каждый сегмент на окружности соответствует определенному интервалу на прямой. Выбрав за полный интервал от 0 до 2π, мы можем сопоставить каждой точке на окружности точку на отрезке оси от φ 0 до 2π. Так как между точками на предельном цикле и на интервале от 0 до 2π существует взаимно однозначное соответствие, мы можем ввести координату ф (систему координат) на самом предельном цикле. Это система координат не зависит от системы координат на плоскости, в которую погружен предельный цикл.
Предельный цикл представляет собой дифференцируемое многообразие, поскольку когда мы используем, например, время как параметр, то при это
Рисунок 16- Взаимнооднозначное отображение отдельных точек предельного цикла на точки прямой.
Рисунок 17- Взаимно однозначное отображение перекрывающихся отрезков предельного цикла на перекрывающиеся отрезки прямой.
предполагаем, что существует q, или, если говорить геометрическим языком, что касательная существует в каждой точке предельного цикла.
Разумеется, в общем случае предельные циклы отнюдь не обязательно должны быть окружностями, они могут быть замкнутыми орбитами, движение по которым повторяется с периодом Т = 2π/ω (ω — частота). Если q существует, то такая орбита также является дифференцируемым многообразием. В одномерном случае периодическое движение описывается рядом Фурье
(1.12.1)
п—целые числа
в m-мерном случае — его аналогом
(1.12.2)
где вектор сп имеет т компонент
Еще один пример предельного цикла представлен на рис. 18, который надлежит рассматривать в пространстве размерности 3 и выше. Примером многообразия может служить тор (рис. 19). В этом случае между каждым элементом поверхности и элементом плоскости можно установить взаимно однозначное соответствие, сопоставив каждой точке элемента тора точку элемента плоскости, и наоборот. Тор можно полностью покрыть элементами, которые частично налегают один на другой.
Рисунок - 18. Предельный цикл в трехмерном пространстве.
При адекватной «сборке» элементов на плоскости получается квадрат (рис. 19). Склеив противоположные стороны квадрата, мы превратим его в трубу, а согнув трубу в кольцо и склеив концы, получим тор. Ясно поэтому, что каждую точку тора можно описывать в системе координат φ1 φ2. Так как касательная плоскость к тору существует в каждой точке (φ1, φ2), тор — дифференцируемое многообразие. Двумерные торы и их аналоги — многомерные торы — позволяют адекватным образом наглядно представить себе квазипериодические движения, которые происходят с несколькими частотами. Примером может служить движение
Рисунок 19- Двумерный тор в трехмерном пространстве.
или, в более общем случае,
Вектор q допускает разложение в кратный ряд Фурье вида
где 
— целые числа.
Заполняет ли вектор-функция (20) тор полностью или нет, зависит от отношения частот. Если отношения частот рациональны, то траектории образуют только отдельные линии на торе. В этом нетрудно убедиться, взглянув на рис. 20, где ω2 : ω1 = 3 : 2. Какую бы начальную точку мы ни выбрали, она окажется на одной и той же замкнутой траектории на квадрате (см. подпись к рис. 20), которой соответствует замкнутая траектория на торе.
Примерами периодического движения по замкнутым траекториям могут служить также движения с ω2 : ω1 = 1 : 4 и ω2 : ω1 = 5:1 (рис. 21 и 22). С другой стороны, если отношение
Рисунок - 18. Двумерный тор с локальными координатами φ1 и φ2 может быть взаимно однозначно отображен на квадрат (показанный слева).
частот иррационально (например, если ω2 : ω1 = π : 1), то траектория заполняет весь квадрат, или, что то же, весь тор (рис. 23), поскольку со временем подходит сколь угодно близко к любой заданной точке тора. (В этом случае говорят, что траектория образует всюду плотную обмотку тора.) Эти соображения без труда
Рисунок 19-Траектория на плоскости и ее образ на торе при ω2 : ω1 = 3 : 2. Траектория выходит из начальной точки φ1 = 0, φ2 = 0. Условие периодичности позволяет нам продолжать ее после того, как она достигнет уровня φ2 = 2π, проектируя ее на ось φ2 = 0 (вертикальные штриховые линии). После того как траектория достигнет точки φ1 = 2π, φ2 = π, мы, пользуясь периодичностью, проектируем ее в точку φ1 = 0, φ2 = π (горизонтальная штриховая линия), откуда она продолжается дальше (сплошная линия). В результате построения мы получаем замкнутую линию (противоположные края квадрата попарно отождествлены).
Рисунок 20- Траектория на плоскости и ее образ на торе при ω1 : ω2= 1:4.
Рисунок 21- Траектория на плоскости и ее образ на торе при ω1 : ω2= 5:1.
Рисунок 22- Траектория на плоскости и ее образ на торе при иррациональном отношении частот: ω2 : ω1 = π : 1. Ни траектория на плоскости φ1 φ2, ни ее образ на торе не замыкаются и заполняют всю плоскость и весь тор. Мы показываем лишь несколько первых витков траектории, поскольку в противном случае она заполнила бы весь квадрат, а ее образ — весь тор.
обобщаются на торы в многомерных пространствах, которые можно отобразить на кубы с координатами φ1 φ2, . . . , φN, 0 < φj< 2π. По-видимому, два приведенных нами явных примера (дифференцируемых) многообразий (окружность и тор) достаточно ясно показывают, что такое (дифференцируемое) многообразие. (Абстрактное определение читатель найдет в литературе, приведенной в конце книги.) В рассмотренном выше примере устойчивого предельного цикла все траектории, начинавшиеся в окрестности предельного цикла (многообразии), заканчивались на нем. Многообразия, обладающие таким свойством «притягивать» достаточно близкие траектории, называются притягивающими.
Рисунок 23- Устойчивое и неустойчивое многообразия седла (см. текст).
Рисунок 24- Устойчивое и неустойчивое многообразия предельного цикла.
Попав на устойчивый предельный цикл, вектор q (t), описывающий эволюцию системы, остается там навсегда. В этом случае мы называем предельный цикл инвариантным многообразием потому, что такое многообразие (предельный цикл) остается неизменным при движении. Оно инвариантно относительно эволюции во времени. Такое определение инвариантного многообразия применимо и к многообразиям всех других типов.
Еще одно важное понятие знакомит нас с устойчивым и неустойчивым многообразием. Поясним кроющиеся за ним идеи на примерах. На рис. 24 показаны устойчивое и неустойчивое много- образия для особой точки типа «седло на плоскости». Под устойчивым многообразием (особой точки) мы понимаем множество всех точек, которые являются начальными точками траекторий, заканчивающихся при t → + ∞ в данной особой точке. В нашем примере видно, что устойчивое многообразие имеет размерность вещественной прямой. Так происходит потому, что все траектории, выходящие из достаточно малой окрестности устойчивого многообразия, пройдут на конечном расстоянии от седла и затем отклонятся в сторону от него. Под неустойчивым многообразием (особой точки) мы понимаем множество начальных траекторий, заканчивающихся в пределе при → - ∞ в данной особой точке. Подчеркнем, что оба типа многообразий — устойчивое и неустойчивое — обладают свойствами инвариантного многообразия. Рассмотрим еще один пример (рис. 24): устойчивое и неустойчивое многообразия предельного цикла погружены в трехмерное евклидово пространство. Эти многообразия построены локально по линеаризованным уравнениям движения. Вернемся еще раз к примеру с седлом (рис. 23). Обозначив через q = (q1 q2) отклонение от седла, мы получим систему уравнений
где α, γ > 0 и Nj (j = 1,2) — нелинейные функции от щ. Ограничиваясь малыми отклонениями qt-, мы можем спокойно пренебречь нелинейными членами в Nj, имеющими по предположению порядок О (\q\2). Произведя соответствующие упрощения, заметим, что малые возмущения q1 экспоненциально возрастают со временем. Это означает, что направление qi — касательная к неустойчивому многообразию седла. Наоборот, малые возмущения q% экспоненциально затухают со временем. Это означает, что направление q2 — касательная к устойчивому многообразию седла.
В общем случае могут существовать направления третьего типа, по которым возмущения не возрастают и не затухают, т. е. ведут себя нейтрально. Нейтральные направления — касательные к так называемому центральному многообразию. Примером может служить предельный цикл на рис. 24. Ясно, что возмущение, касательное к такому предельному циклу, не может со временем ни возрастать, ни затухать. Заметим, что в случае седла (рис. 23) центральное многообразие вырождается в точку.
Сравнительно недавно выяснилось, что могут существовать аттракторы, не являющиеся многообразиями. Такие аттракторы получили название «странных», или «хаотических», аттракторов. Считаем своим долгом предупредить читателя о некоторых математических тонкостях. Понятие «странный аттрактор» в настоящее время применяется главным образом в тех случаях, когда выполняются определенные математические аксиомы. Неизвестно (по крайней мере пока), существуют ли в природе системы, удовлетворяющие этим аксиомам. Мы будем понимать термин «странный аттрактор» не столь узко. Попав в область странного аттрактора, вектор q (t) остается в пей навсегда. Но траектория q (t) не лежит на многообразии. Вектор q (t) напоминает скорее иглу, которой мы вновь
Рисунок 25- Стереоизображение аттрактора Рёсслера. Для получения объемного изображения поставьте лист бумаги перпендикулярно плоскости страницы и рассматривайте левый график левым глазом, а правый — правым. Подберите такое положение головы, при котором два плоскостных изображения сольются в одно объемное. Значения параметров: а = b = 0,2; с = 5,7; х (0) = у (0) = — 0,7; г (0) = 1. Переменные х и у изменяются от —14 до + 14, переменная z — от 0 до 28.
Рисунок 26- Стереоизображение (модифицированного) аттрактора Лоренца. Значения параметров: а = 2,2; σ = 4; r = 80; b = 8/3; x (0) = 5,1; г/ (0) = — 13,72; z (0) = -50до +50
и вновь протыкаем клубок ниток. Странные аттракторы встречаются в пространствах трех и большего числа измерений. Примеры таких аттракторов представлены на рис.25 и 26.
Траектории странного аттрактора могут порождаться (при надлежащем выборе параметров) очень простыми дифференциальными уравнениями. Простейший из известных примеров — аттрактор Ресслера. Его дифференциальные уравнения содержат лишь одну нелинейность и имеют вид
х= —y/—z,
у = х + ау,
z = b+z(x — с),
где a, b, с — постоянные параметры. На рис. 1.12.22 показано, как выглядит такой аттрактор.
Еще один пример простого (исторически более раннего) аттрактора—аттрактор Лоренца. Соответствующие дифференциальные уравнения имеют вид
х = о(у—х),
y = x(r—z) — y,
z = xy—bz,
где x, b, z — постоянные параметры. Эта модель была предложена для конвективной неустойчивости в гидродинамике. Одномодовый лазер описывается уравнениями, эквивалентными уравнениям Лоренца. Общий вид (модифицированного) аттрактора Лоренца показан на рис. 26. Модификация состоит во включении аддитивного параметра а в правую часть уравнения (2).
Аттрактор—Множество точек или подпространство в фазовом пространстве , к которому приближается траектория после затухания переходных процессов. Классическими примерами аттракторов в динамике могут служить точки равновесия или неподвижные точки отображений, предельные циклы или поверхности торов для квазипериодических движений.
Рисунок 27- Хаотическая движения в диссипативной системе Лоренца
Аттракторы, отличные от состояний равновесия и периодических колебаний, получили название "странных аттракторов".
Рисунок 28 - Странный аттрактор Лоренца
Внутри таких аттракторов траектории блуждают нерегулярным образом и являются весьма чувствительными к изменению начальных условий. Из последних работ по исследованию аттракторов нелинейных динамических систем следует, что для многих природных систем характерен режим движения по некоторым многообразиям в их пространстве состояний. Так, в природных системах переменные, характеризующие их состояние, стремятся к таким значениям, которые соответствуют некоторым соотношениям (уравнениям баланса), т.е. инвариантным многообразиям в их пространстве состояний. Существуют также аналогичные связи, накладываемые непосредственно не на переменные состояния, а на скорость их изменения. В природных системах наличие инвариантных многообразий обусловлено необходимостью выполнения законов сохранения, например закона сохранения массы, а в технических системах существование задаваемых инвариантных многообразий должно обеспечиваться самой процедурой синтеза законов управления. Природные системы, в отличие от технических систем управления, обладают целым рядом весьма необычных, с точки зрения современной теории управления, свойств, например, для природных систем не существует известного "проклятия размерности", которое в настоящее время приводит к существенным, а в случае нелинейных технических систем и к принципиальным затруднения в отношении обеспечения их асимптотической устойчивости и желаемого качества. Оказывается также, что в природных системах качество их функционирования может даже повышаться при расширении разнообразия входящих в них подсистем (например, разброса их параметров) и, более того указанное разнообразие, как правило играет стабилизирующую роль. В то же время известно, что в сложных технических системах управления подобное свойство обычно ведет к ухудшению их качества. В связи с отмеченными замечательными свойствами природных систем представляется весьма полезным и перспективным для развития современной теории управления осуществить попытку переноса этих свойств на конструируемые системы управления техническими и, в первую очередь, нелинейными объектами.
Выше уже отмечалось, что для многих природных систем основная цель функционирования состоит в стабилизации соотношений между их переменными состояния. Математическим следствием этого факта является вырожденность их уравнений динамики и наличие интегральных инвариантов, т.е. некоторых инвариантных многообразий в их пространстве состояний. Именно это свойство положено в основу развиваемого в этой книге синергетического подхода и разрабатываемых на его основе теории и методов синтеза нелинейных систем управления. Применение инвариантных многообразий для решения задач управления различными динамическими объектами основывается на глубокой аналогии между процессами в естественных системах и в технических управляемых системах. Указанная аналогия следует из фундаментальных принципов сохранения в физике закона сохранения энергии, закона сохранения количества движения (импульса), закона сохранения момента количества движения, закона сохранения массы и т.д. Инвариантные многообразия, которые присущи синтезируемым системам, представляют собой некоторые функции, которые во время движения не изменяются в силу указанных законов сохранения. В механике, например, величины, которые подчиняются соответствующим законам сохранения, называют интегралами движения, являющимися некоторыми постоянными величинами. Любое механическое движение с необходимостью содержит в себе те или иные инвариантные величины. Изучение механического движения возможно именно в той мере, в какой удается найти эти величины и сформулировать на их основе некоторые количественные законы движения. Развитие науки показывает фундаментальное значение принципов сохранения, действующих не только в области механического движения. Основополагающей идеей, присущей предмету и методу науки, является идея сохранения, или, иначе, принцип инвариантности. Этот принцип содержится в структуре любой теории, описывающей то или иное природное явление. Выявление инвариантных свойств исследуемых систем позволяет сформулировать специфические закономерности функционирования разнообразных систем.
2 СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
2.1 СИНЕРГЕТИКА И ПРОБЛЕМА УПРАВЛЕНИЯ
О редукционистском и целостном подходах в теории управления. Современная научная картина мира опирается в основном на классический редукционистский подход, согласно которому окружающие нас природные явления состоят из мира вещей и мира законов. Такое представление означает, что свойства целого объясняются свойствами частного, т.е. характеристики целого полностью определяются некоторой суммой характеристик его элементарных составляющих. Редукционистская парадигма (исследовательская программа) естествознания, берущая свое начало еще от Платона, нашла яркое и успешное воплощение в научном методе Галилея, который был, затем обоснован и принципиально развит Ньютоном. Современное общество обязано этой парадигме крупными успехами в области науки, технологии и промышленности.
Фундаментальными, основополагающими понятиями редукционистской картины мира являются материя и движение, согласно ей природа—это машина состоящая, как и любой механизм из отдельных частей со своими индивидуальными свойствами и описываемая раз и навсегда установленными законами математического естествознания.
Однако до Галилея и Ньютона доминировала в основном Аристотелева система мира, согласно которой в природных процессах целое важнее ее составляющих. Это так называемый холистический, т.е. целостный, глобальный подход к пониманию картины мира. По Аристотелю, наш мир представляет собой иерархическую систему, в которой одни формы подчинены другим формам, т.е. находятся в динамической взаимосвязи друг с другом. Холистический, целостный подход ориентирована системный характер того или иного явления, для него целое представляет собой нечто большее, чем простая сумма составляющих. Этот подход уделяет важное внимание связям и взаимодействию между частями целого как некоторой системы. Редукционистский подход отличается антропоцентризмом; здесь человек во всех проявлениях суть повелитель природы, которую он приспосабливает для удовлетворения своих "неуклонно растущих потребностей". В отличие от этого холистическая картина мира полагает, что человек и природа равны, что они находятся во взаимодействии и составляют нечто целое и единое в своем существовании и развитии. В настоящее время появились многие проблемы, которые, по-видимому, не могут быть решены редукционистскими методами. С одной стороны, эти методы позволили создать к настоящему времени гигантскую технократическую цивилизацию, а с другой они не дают ответа на острые вопросы и проблемы, связанные, например, с возможностью возникновения экологической или ядерной катастрофы и вообще с разрушительными тенденциями в современном мире. В частности, существующие подходы редукционистского толка не объясняют основополагающих причин быстрого разрушения даже самых лучших технических объектов и сооружений по сравнению с природными системами, которые не только восстанавливаются, но и усиленно развиваются, если, конечно, человек их окончательно не погубил и некоторое время не вмешивается в их функционирование. С редукционистских позиций трудно также понять истинные причины существенного снижения устойчивости и, следовательно, надежности искусственных сооружений и комплексов с ростом их размеров и сложности структуры, между тем для природных систем, наоборот, характерно явление повышения устойчивости и стабильности по мере того, как они становятся крупнее и функционально сложнее. Более того, природные системы в пределах их жизненного цикла обладают удивительными свойствами самосохранения и самоусовершенствования. По-видимому, конструктивная мысль человека, приведшая к целому ряду выдающихся, эпохальных научно-технических достижений, все же не учитывает нечто фундаментальное и обобщающее, присущее природным системам.
В этой связи перед современной наукой, в том числе и теорией управления, стоит трудная проблема выявления и изучения механизмов построения природных (экологических, биологических) систем, которые гарантируют высокую выживаемость и надежность функционирования этих систем в условиях изменения внутренней и внешней среды обитания. Эти и другие подобного рода обстоятельства возродили интерес к изучению и развитию глобальных подходов, что свидетельствует о возвращении к Аристотелеву взгляду на картину и развитие мира, разумеется, на новом витке его познания. Холистические целостные представления, опираются на такие базовые понятия, как "симметрия", "структура", "связность", которые здесь более важны, чем понятие "закон", занимающее, как известно доминирующее положение при редукционистском подходе.
Для холистического взгляда на мир характерен системный подход,
в котором главенствуют процессы синтеза по сравнению с традиционной аналитикой классического естествознания. Разумеется, что холистический подход вовсе не антагонистичен редукционистскому, а стремится сохранить его положительные стороны, придав им большую органичность и системность. Необходимо подчеркнуть, что в классическом естествознании, многом опирающемся на редукционистский подход, элементы холистического взгляда на природу явлений были всегда неизбежно включены в структуру самой науки в форме ее фундаментальных принципов (например, вариационные принципы физики, очевидно, относятся к холистическому подходу).
Итак, современные холистические взгляды на естественно научную картину мира, включающую физические, биологические и другие процессы, опираются на фундаментальный, принцип всеобщей связи природных явлений и на принцип развития. При этом выделяет физическое (биологическое) ядро природных систем как совокупность низших, редукционистских форм материи со своими законами движения. Высшие, холистические представлений опираются на низшие формы, отводя первостепенную роль структурным характеристиками свойствам связности природных процессов. Очевидно, что известная противоположность обоих подходов в науке редукционистского и холистического—относительна и взаимообратима т.к. эти подходы по своему содержанию и смыслу преследуют, одну и ту же цель выявите интеграционные, синтезирующие положения в науке и тем самым добиться ее единства и целостности.
Тема о редукционистском и холистическом подходах в науке, которой мы здесь кратко в несколько поверхностно коснулись, несомненно, достойна более глубокого и развернутого изложения. Однако для нас важно здесь попытаться выявить - основные редукционистские особенности и холистические тенденции в теории управления, которые, возможно, могут быть положены в основу ее дальнейшего развития. Поэтому сначала остановимся на понятии "управление". Дело в том, что издревле анализ природных систем носил пассивный, наблюдательный характер, т.е. он не предполагал целенаправленных воздействий на динамику изучаемых систем. Ньютоновский и особенно современный взгляды на науку в большей мере связаны с управленческим подходом, при этом координаты состояния системы из первоначально независимых в результате действия управления могут превращаться в частично или полностью зависимые с целью обеспечения движения системы по желаемой траектории. В дальнейшем нас в основном будут интересовать управляемые динамические системы и их свойства, т.к. именно управление отражает конструктивное начало и активную роль человека в создании рациональной техносферы и вообще в мировом эволюционном процессе.
Перейдем теперь к выявлению редукционистских и холистических тенденций в теории управления. Распространенное в современной теории управления внутреннее описание процессов в форме уравнений пространства состояний, очевидно, ближе к редукционистскому подходу. Это объясняется тем, что используемые координаты состояния фактически равны по значимости и между ними не устанавливается некоторая связь или иерархическая подчиненность, здесь координаты не сгруппированы в функциональные блоки или подсистемы, что позволило бы осуществить естественную декомпозицию системы на основе, например, ее физической структуры. В этом смысле внешнее описание системы в виде связи "вход—выход" в большей мере ближе к холистическому подходу, т.к. оно не содержит информации о локальных процессах и основано только на отображении, связывающем выходы с входами системы. Однако внутреннее описание содержит существенно больше информации о способе действия системы, т.к. такое описание порождает ее внешнее описание. Известно, что при построении модели системы возникает так называемая задача реализации, согласно которой необходимо выяснить полноту соответствия внутреннего и внешнего описаний системы. Использование же критериального подхода в теории управления очевидно ближе к холистическому взгляду, т.к. непосредственно связано с вариационными принципами науки. Функционал (или критерий качества) отражает глобальные свойства системы, которые накладывают ограничения на ее произвольные локальные движения. Эти движения непременно должны удовлетворять экстремуму некоторого функционала. Отсюда следует, что оценка свойств систем управления по конкретным параметрам переходных процессов относится к редукционистскому подходу, т.к. находится на самой нижней ступени иерархической лестницы: функционал (критерий качества) уравнения состояния, доставляющие экстремум функционалу на траекториях движения, переходные процессы, являющиеся решениями этих уравнений для частных граничных условий системы
Продолжим изучение холистических тенденций в теории управления и попытаемся выявить их сущность на основе некоторых общих физических закономерностей. К одному из важных холистических понятий относится понятие "связности", т.к. является одной из базовых качественных характеристик системы. Понятие "система" подразумевает связь совокупности некоторых элементов, образующих структуру системы, и поэтому с разрушением структурной связности исчезает и сама система. В системах управления, описываемых дифференциальными уравнениям, связность отражает характер динамического взаимодействия между компонентами, иерархически входящими в соответствующую систему. Отличительной особенностью систем управления, как известно, является их динамическое описание, т.е. представление физического (химического, биологического) объекта в движении, происходящие в этих системах процессы отражают реакции взаимодействия некоторых локальных подсистем (элементов), входящих в общую систему управления. Несмотря на кажущуюся тривиальность последнего утверждения, оно здесь подчеркивается, т.к. относится к принципиальной, кардинальной черте теории управления, заметно отличающей ее от доминирующего во многих современных науках статистического подхода, когда соответствующие явления описываются как набор возможных ситуаций, как собрание сущностей. Динамический же подход определяет, какая сущность следует за другой сущностью и как они взаимодействуют между собой. Согласно этому подходу первопричиной всего сущего в этом мире является динамика, т.е. взаимодействие между сущностями реального мира, а наблюдаемые нами физические явления и процессы представляют собой некоторые формы этого взаимодействия. Иначе, за явленным порядком вещей, т.е. реакцией, скрывается некоторый невидимый смысл, а это уже холистический взгляд на природные процессы.
Итак, динамическое описание окружающего нас реального мира придает особую значимость внутреннему взаимодействию компонентов в системах управления, которому современная теория, как это и не покажется странным, все же не отводит решающей роли, во многом увлекшись чисто математической стороной задачи об управлении. Между тем любое природное явление познаваемо только во взаимосвязи с другими явлениями посредством соответствующих законов, в результате чего эти связанные явления и могут быть описаны как некоторое целостное представление о природном процессе. Указанный холистический взгляд все в большей мере становится всеобщим в науке. Все природные системы, в том числе и живые организмы—от отдельной особи и популяции до биосистем и экологических комплексов, организована в определенные функциональные образования, которые обмениваются между собой веществом, энергией и, очевидно, информацией. По-видимому, информация как раз и служит источником управления поведением и состоянием, как отдельных компонентов, так и природных систем в целом. Следует, однако, отметить, что вплоть до последнего времени наука уделяла основное внимание изучению естественно энергетической организации природных систем, оставляя несколько в стороне такую важную их особенность, как управление с целью самосохранения этих систем, причем в максимально возможной степени. В настоящее время возникла настоятельная необходимость выявления механизмов управления, действующих в природных системах и лежащих в основе их функционирования и развития. Представляется достаточно очевидным, что указанные механизмы должны базироваться на динамике управляемого взаимодействия вещества, энергии и информации в природных системах.
Остановимся теперь на таком важном холистическом понятии, как симметрия в природных системах. Симметрия относится к одному из фундаментальных понятий в современной теории физических взаимодействий. Она присутствует повсюду, где существуют связи между частями в составе какого-либо объекта или системы. Скрытые формы симметрии были обнаружены учеными в результате физического и математического анализа сил, которые, ответственны за формирование материи. Этот анализ показывает, что силы можно рассматривать как способ поддержания определенного рода симметрии в природе. На основе теории взаимосвязей между симметрией, силовыми полями и частицами современные физики пришли к весьма неординарному выводу о том, что мы живем в многомерном (точнее одиннадцатимерном) мире. В соответствии с этой теорией, окружающий нас обычный трехмерный мир дополняется пространственно-временными измерениями, которые как раз и проявляются как некоторые силы или взаимодействия. Общий принцип симметрии пронизывает структуру и функционирование любых естественных систем—от элементарных частиц и клеток до галактик и живых организмов. В симметрии проявляется общность структуры и свойств систем, в то же время симметрия—это некоторые запреты на возможное число вариантов природных процессов. Указанные запреты реализуются через законы сохранения в соответствующих природных явлениях. В физике идея симметрии, например, лежит в основе классификации элементарных частиц, в химии она проявляется в виде периодического закона, в биологии симметрия проявляется в законе сохранения наследственности, в математике в теории групп и т.д. В общем случае симметрия представляет собой некоторую упорядоченность частей, образующих нечто целое. В свою очередь, упорядоченность дает возможность сжать информацию о структуре природного объекта путем выделения лишь части его блоков и знания правил их построения. Однако свойству симметрии в природных системах всегда сопутствует асимметрия, т.е. нарушение. В симметрии проявляется некоторая общность свойств природных процессов, а в асимметрии их различие и разнообразие. Все явления окружающего нас мира пронизывает единство симметрии и асимметрии, отражая свойства сохранения и изменения являясь причиной порядка и беспорядка, единства закономерного и случайного.
Важно подчеркнуть, что фундаментальное свойство симметрии и асимметрии в природных системах—это не только некоторая общенаучная концепция, имеющая определенное философское содержание, но она позволяет также выявить некоторое конструктивное начало, лежащее в основе рассматриваемого природного процесса. Так, с особой силой сказывается значимость понятий симметрии и структуры при исследовании нелинейных диссипативных систем, для которых характерны весьма интенсивные динамические взаимодействия. В таких системах могут возникнуть так называемые процессы самодвижения, точнее, самоорганизации, невозможные в линейных системах. Для этих систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, как известно, отсутствуют какие-либо общие методы поиска их решений. Именно здесь свойство симметрии дает возможность выделить некоторые частные, так называемые инвариантные решения, которые, как оказалось, часто содержат ценную и богатую информацию об общих свойствах природной системы. Исследование явлений самоорганизации позволяет указать новые пути понимания принципов построения природных систем. Учитывая, что перенос этих принципов на конструктивную деятельность человека дает возможность выявить новые подходы в проблеме естественного управления различными физическими (химическими, биологическими) объектами, перейдем к более подробному изучению явления самоорганизации в природных системах. Для этого целесообразно изучить пути и тенденции развития идеи самоорганизации в классической и современной науке.
3 Неравновесность и порядок в системах
Синергетика и управление. Недавно возникла и сейчас интенсивно формируется новая наука о коллективном, когерентном поведении нелинейных динамических систем различной природы—синергетика. Это слово является производным от древнегреческого "синергос"— вместе действующий, а сам термин "синергетика" в прошлом веке в науку впервые ввел Шаррингтон для описания кооперативных действий мышечных систем при управлении ими со стороны мозга. В последующие годы термин широко использовался в физиологии для обозначения совместного поведения. В последнее время теорию совместного действия, по предложению известного физика Г. Хакена, стали называть "синергетикой", основой которой являются общие закономерности процессов самоорганизации в нелинейных динамических системах самой различной природы. Сущность этой интегральной науки Г.Хакен определяет следующим образом: "... в ней исследуется совместное действие многих подсистем (преимущественно одинаковых или несколько различных видов), в результате, которого на макроскопическом уровне возникает структура и соответствующее функционирование. С другой стороны, для нахождения общих принципов, управляющих самоорганизующимися системами, необходимо кооперирование многих различных дисциплин".
Рисунок 3 - Синергетика и управления
Из этого определения следует, что синергетика изучает свойства самоорганизующихся систем любой природы—физической, химической, биологической, причем это такие свойства, которыми не наделена ни одна из под систем, входящих в общую систему. По Хакену, самоорганизация—это такой процесс в нелинейных динамических системах, который приводит к возникновению внутренних пространственных и пространственно временных структур.
4 Основные понятия синергетики
В основе самоорганизующихся процессов лежит синергетический принцип подчинения, согласно которому исходная сложная система может быть представлена в виде некоторой сложной иерархической системы, состоящей из совокупности динамических подсистем. Эти подсистемы подчинены друг другу и находятся между собой в определенной динамической взаимосвязи. В математическом плане принцип подчинения базируется на методе адиабатического приближения или, говоря языком нелинейной механики, на идее разделения исходной системы на медленные и быстрые подсистемы. При этом осуществляется процедура адиабатического исключения переменных с характерными временными масштабами. Помимо принципа подчинения, для синергетики важное, значение имеет также понятие параметра порядка. Выявим сущность этих основополагающих понятий синергетики на конкретном примере нелинейной системы второго порядка:
х1(t) = λ1 х1 х2;
х2(t) = - λ2 х2 + х12;
где λ1 ≥ 0, λ2 > 0.
Такими дифференциальными уравнениями описывается ряд процессов в физике, химии, экологии и т.д. Следуя, предположим, что коэффициент λ1 очень мал и λ2 > > |λ1|. Тогда если переменные х1 и x2 малы, т.е. можно пренебречь квадратичной формой х1* x2, то переменная х1 будет изменяться очень медленно. Из второго уравнения видно, что прирост х2 определяется членом х1, а так как переменная x1 изменяется очень медленно, можно ожидать, что и х2 будет изменяться также достаточно медленно. Поскольку λ2>0 и много больше λ1 то производной x2(t) можно пренебречь по сравнению с величиной λ2*х2. Изложенный приближенный анализ математических свойств исходной системы дифференциальных уравнений по существу означает, что эта система может быть представлена медленной подсистемой, описываемой первым уравнением, и быстрой подсистемой, описываемой вторым уравнением. Изменение поведения быстрой (τ2) и медленной (τ1) под систем определяете я переходным и процесса ми, длительность которых можно оценить следующим неравенством:
Это неравенство и описанные выше соображения позволяют положить х2(t)
, т.е. записать исходные уравнения в виде
Отсюда находим выражение
, подставив которое в первое уравнение, получим:
В результате осуществлено алгебраическое исключение переменной х2. Теперь уже поведение исходной системы определяется в основном эволюцией медленной подсистемы, которая как бы "управляет" быстрой подсистемой. При этом переменная х2 подчинена переменной х1 системы. Поэтому медленная переменная x1, к которой x2 и называется параметром порядка. В многомерных системах параметру порядка х1 может быть подчинено весьма большое число других переменных. Это и позволяет принципиально упростить сложную задачу, а именно: исследовать лишь одно уравнение относительно x1, а затем выразить все остальные переменные через х1 на основе принципа подчинения. В общем случае в сложной многомерной системе таких параметров порядка может быть несколько, но это часто небольшое число, существенно меньшее размерности исходной системы. К этим коллективным переменным—параметрам порядка подстраиваются остальные переменные, которые можно исключить при описании макроскопического поведения системы. Именно, небольшое число уравнений для выявленных параметров порядка и позволяет исследовать макроскопические свойства исходной нелинейной динамической системы. В этом случае для многомерных систем удается найти автомодельные (самоподобные) решения, характерные только для далеких от положения равновесия состояний. Отличительной особенностью систем с описанными свойствами является "забывание" начальных условий и формирование неравновесных структур. Именно неравновесность и может служить причиной упорядоченности, т.е. самоорганизации нелинейной динамической системы.
Итак, основополагающими понятиями синергетики являются принцип подчинения и параметры порядка. Оказывается, что между потерей устойчивости системы в линейном приближении, возникновением параметров порядка и реализацией принципа подчинения существует важная внутренняя взаимосвязь. В результате изменения параметров управления нелинейная система может потерять устойчивость в линейном приближении. Для рассмотренной здесь, системы второго порядка таким параметром управления является коэффициент λ1, в результате изменения которого Re(λ1) может стать очень малой величиной или изменить знак и тем самым послужить причиной неустойчивости системы в линейном приближении. В таких случаях и применим принцип подчинения. Отсюда следует, что в тех точках, в которых происходят структурные изменения, поведение системы определяется только параметрами порядка. Связь между принципом подчинения, параметрами порядка и потерей устойчивости в линейном приближении позволяет выявить общие аналогии в свойстве самоорганизации при макроскопическом поведении различных по своей природе нелинейных динамических систем. Следует отметить, что адиабатический подход, изложенный на примере нелинейной системы второго порядка, не является принципиально новым и уже достаточно давно используется в нелинейной механике, химии и др. с целью упрощения исследования исходно сложных систем. Такого рода подходы основаны на свойстве редукции и в математическом отношении связаны с методами малого параметра при производных в теории нелинейных дифференциальных уравнений. Эти подходы и являются обоснованием принципа подчинения базового принципа синергетики. На этом принципе построена теория самоорганизации нелинейных динамических систем.
5 Синергетика и процессы управления
Синергетические процессы обнаружены в различных физических и химических системах, но наиболее ярко они проявляются в биологии, где образование упорядоченных и эффективна функционирующих структур непременно происходит на основе кооперации между отдельными частями целостного организма. Такого рода кооперативные, внутренне согласованные процессы обнаруживаются во всем многообразии биосистем, а синергетические процессы давно изучаются биологами. Так, еще в работе Н.А. Бернштейна, посвященной проблеме построения движений животных, сформулирована задача управления движениями как отыскание способов борьбы с избыточным числом механических степеней свободы. Очевидно, что такие способы могут быть различными, но наиболее простым и распространенным из них является способ введения жесткой связи между степенями свободы. В этом случае число степеней свободы редуцируется, а задача управления движениями существенно упрощается. Указанные формы движений, когда на механические степени свободы наложены связи, а сами движения каждый раз осуществляются идентично, получили в биологии название синергии. Итак, в биологии уже давно изучаются синергетические процессы, во многом определяющие фундаментальные свойства биосистем. В последнее время в ряде работ биофизиков обобщены и поставлены задачи управления, имеющие, на наш взгляд, принципиальное значение для развития теории управления не только биосистемами, но и системами любой природы. Кстати, о понятии "система", которое стало повсюду применяться. Имеются разные определения этого понятия, базирующиеся в основном на свойстве взаимодействия между компонентами, входящими в общую систему. Однако выдающийся физиолог П.К. Анохин считал это недостаточным и дал следующее замечательное определение системы: "Системой можно назвать только такой комплекс избирательно вовлеченных компонентов, у которых взаимодействие и взаимоотношение приобретают характер взаимосодействия компонентов на получение фиксированного полезного результата". При этом свойство взаимодействия компонентов реализуется путем освобождения их от тех избыточных степеней свободы, которые в данный момент не нужны для достижения конкретного результата. Те же степени свободы, которые способствуют достижению поставленной цели, непременно сохраняются механизмом взаимодействия компонентов системы. Весьма важно, что сам результат является тем решающим фактором; который активно влияет на отбор степеней свободы, нужных для достижения поставленной цели, т.е. именно желаемый результат создает упорядоченную форму взаимодействия между компонентами биосистемы. Другими словами, выделенное П.К. Анохиным фундаментальное свойство взаимосодействия представляет собой ярко выраженный и повсеместно проявляющийся в биосистемах синергетический процесс.
Буквально на глазах, в течение короткого времени синергетика—теория неравновесных процессов превращается во всеобщую теорию развития, имеющую весьма широкие мировоззренческие последствия. Если говорить кратко, то смысл и содержание этой новой интегральной науки состоит в том, что в открытых системах, обменивающихся с внешней средой энергией, веществом и информацией, возникают процессы самоорганизации, т.е. процессы рождения из физического (химического, биологического и т.д.) хаоса некоторых устойчивых упорядоченных структур с существенно новыми свойствами систем. Это общее определение справедливо для систем любой природы. Подчеркнем два фундаментальных свойства высокоэффективных синергетических систем любой природы—это, во-первых, обязательный обмен с внешней средой энергией, веществом и информацией и, во-вторых, непременное взаимодействие, т.е. когерентность поведения между компонентами системы. Об этих кардинальных свойствах синергетических систем всегда следует помнить как руководителю коллектива, так и специалисту в конкретной научной или технической области.
Ранее были перечислены многие явления различной природы, в которых возникают процессы самоорганизации. Это означает, что между синергетикой и другими физическими, техническими, химическими, биологическими, экономическими науками имеется внутренняя взаимосвязь. В то же время синергетика в каждую из наук вносит свои особенности и подходы, которые были не присущи или даже чужды традиционным направлениям этих наук. Синергетика—это синтетическая наука, опирающаяся на общую и глубокую концепцию самоорганизации в динамических системах различной природы. Ее следует понимать не только как некоторую совокупность физических идей и математических методов, но и как новый концептуальный взгляд на науку. Синергетический подход в науке во многом напоминает системный подход, а сама синергетика имеет важные точки соприкосновения с общей теорией систем. Для синергетики, как и для теории систем, важны не поверхностные аналогии между явлениями различной природы, а достаточно строгое соответствие между всеми элементами сравниваемых систем. Такое требование означает поиск математически изоморфных законов различной физической (химической, биологической) природы. Общая теория систем изучает системы самого различного характера концептуальные, материальные, слабо и сильно структурированные, и т.д., в то время как для синергетики основным предметом исследования является самостоятельная междисциплинарная область самоорганизующихся систем. В синергетическом подходе, в отличие от общесистемного, изучаются конкретные принципы и механизмы само структурирования естественных и технических систем. Иначе говоря, в отличие от общей теории систем, синергетика сосредоточивает свое внимание на кооперативных, когерентных и самосогласованных процессах, возникающих в сложных нелинейных системах. Необходимо также подчеркнуть, что как для общей теории систем и кибернетики, так и для синергетики объединяющим понятием является понятие системы. Однако, в синергетическом подходе, помимо формирования общей системной концепции—самоорганизации, обязательно учитывается конкретное физическое (химическое, биологическое) содержание рассматриваемых явлений и процессов.
В основе классического понимания науки всегда лежала некоторая совокупность экспериментальных результатов и выдвинутых учеными принципов или гипотез. Современная же наука, в отличие от классической, все в большей мере становится концептуальной. В этом отношении синергетика—это не новая наука в классическом понимании слова, а по существу новая концепция, базирующаяся на теории самоорганизации систем. Синергетический подход стремится, в первую очередь, выявить макроскопические свойства того или иного процесса, например целых образований, популяций и т.д. Указанный подход не выделяет поведение отдельной особи или частицы, как это делается в классической механике, для него наиболее важным является количество отдельных компонентов, входящих в общую систему. В синергетическом подходе предполагается, что само это количество—параметр порядка управляет поведением каждого компонента (особи, частицы и т.д.) системы. Итак, в основе синергетики лежит фундаментальное явление самоорганизации в сложных нелинейных динамических системах. Однако синергетика еще не построила всеобщую и единую теорию самоорганизации, справедливую для всех видов природных и технических систем, поэтому в зависимости от конкретных свойств предметной области той или иной науки синергетический подход приобретает свои отличительные особенности и содержание этой связи в настоящее время мы можем говорить пока о синергетическом подходе как о некоторой направляющей концепции в соответствующей науке.
К синергетике как к науке, изучающей поведение нелинейных динамических систем вдали от положения равновесия при изменении некоторых управляющих параметров, по-видимому, наиболее близка по своей идеологии нелинейная теория автоматического управления. Разумеется, что в подходах этих наук существуют и свои заметные различия. Так, в утверждается, что и кибернетика, и синергетика придают первостепенное значение понятию управления, но при этом преследуют совершенно различные цели. Кибернетика занимается разработкой алгоритмов и методов, позволяющих управлять системой для того, чтобы та функционировала заранее заданным образом. В синергетике мы изменяем управляющие параметры более или менее непредсказуемым образом и изучаем самоорганизацию системы, т.е. различные состояния, в которые она переходит под воздействием "рычагов управления". Приведенное высказывание Г. Хакена в отношении аналогий и отличий в подходах синергетики и кибернетики указывает на охват этими интегральными науками общих закономерностей, включающих частные законы других наук, однако не следует, на наш взгляд, противостоять цели синергетики и кибернетики в отношении задач управления. Ведь, в конечном итоге, суть любой науки, в том числе и синергетики, состоит, во-первых, в познании человеком окружающего его мира и самого себя, и, во-вторых, в конструктивном использовании полученных знаний для формирования гармоничной окружающей среды и затем, по В.И. Вернадскому, ноосферы в составе мирового эволюционного процесса.
Итак, по Хакену, в синергетических процессах, где отсутствуют целеполагающие причины, происходит стихийное изменение управляющих параметров, что дает возможность изучить свойство самоорганизации на диссипативных структурах фактически неуправляемой нелинейной системы.
Рисунок 4 - Нелинейность синергетика по Г. Хакена
Другими словами, здесь важнейшими свойствами являются самодвижение и самоорганизация, а истинное понимание процессов заключается в изучении причин самоорганизации. В синергетическом же подходе, развиваемом в данной книге, предполагается осуществить переход от непредсказуемого поведения системы по алгоритму диссипативной структуры к управляемому движению вдоль желаемых инвариантных многообразий, к которым будут подстраиваться все другие переменные динамической системы. Здесь цель уже выступает как определяющая сущность процесса, а его истинное понимание состоит в самоуправлении и самоорганизации в соответствии с поставленной целью.
Таким образом, в нелинейных динамических системах необходимо различать причинный и целевой способы их самоорганизации. Общим объединяющим началом, позволяющим раскрыть закономерности обоих способов самоорганизации процессов, является синергетический подход.
литература
1. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. Таганрок ТРТУ. М.: Энергоатомиздат, 1944. 344 с
2. Г. Хакен. Синергетика.
3. Г. Хакен. Информация и самоорганизация макроскопический подход к сложным системам. Москва. Мир. 1991. 244 с.